LE CALCUL ACTUARIEL

 

LE CALCUL ACTUARIEL 

Exercice 1 

Si le taux de l'argent est de 5 %, est-il préférable de percevoir une suite de 10 annuités de 1 000 € chacune, dont la première est versée dans un an, ou un versement unique de 10 000 € dans cinq ans ? 

CORRIGÉ

7 Pour répondre à cette question, il convient de comparer ces deux offres à une même date en calculant la valeur équivalente à cette date. Ainsi, si l'on se place à la date t = 0, on obtient: 

• Valeur actuelle de 10 annuités de 1 000 € au taux de 5 % :

 S = 1000 *( l  - 1.05^-10)/ 0.05= 7 721 73 € 

• Valeur actuelle d'une somme de 10 000 €dans cinq ans:

 S0 =10 000 *(1,05)^-5 = 7 835, 26 € 

La valeur équivalente en t = 0 de la seconde solution étant la plus élevée, c'est cette solution qui apparaît la plus intéressante.  

Exercice 2 

Un capital de 300 000 € a rapporté des intérêts semestriels de 12 000 €.

 Quel est le taux annuel équivalent de ce placement ?

CORRIGÉ

Calcul du taux annuel équivalent de ce placement

 Le taux semestriel i  de ce placement est de :

i = 12 000 /3000 000 = 4%

Le taux annuel équivalent est donc le taux tel que i 0 e = (1,04)2 - 1=8,16 % Ce taux est supérieur au taux annuel proportionnel (4 x 2 = 8 %) car il tient compte de la composition des intérêts de façon semestrielle.

 Exercice 3 

Un investisseur doit choisir entre deux types de contrats pour un versement initial de 100 000 €: • percevoir 150 000 € dans quatre ans ; • percevoir 165 000 € dans cinq ans.

 Quelle solution doit-il retenir ?

CORRIGÉ

Quelle solution doit-il retenir ? 

Les placements ayant des durées différentes, on peut les comparer sur la base de leur taux de rendement actuariel. 

La première solution est équivalente à un taux annuel de 10,67 % tandis que la seconde équivaut à un taux annuel légèrement inférieur. Cette dernière est donc moins intéressante. 

Exercice 4

 Monsieur Jacques vient de fêter son quarantième anniversaire. Il souhaite disposer à partir de ses 61 ans d'une rente annuelle pendant vingt-cinq ans. Pour cela, une compagnie d'assurances lui propose d'effectuer des versements constants garantissant un taux actuariel de 5 % sur toute la durée du contrat. Ces versements seront effectués à la fin de chaque année pendant les vingt ans à venir. Il y aura donc 20 versements. Il est convenu que Monsieur Jacques percevra pour la première fois 6 420 € un an après le dernier versement effectué . 

Dans ces conditions, quel est le montant de chaque versement à effectuer ? 

CORRIGÉ

Quel est le montant de chaque versement à effectuer ? 

On calcule, lorsque Monsieur Jacques aura 60 ans, la valeur actuelle de la rente annuelle qu'il percevra pendant vingt-cinq ans. Cette valeur doit être égale à la valeur acquise, à la même date, des versements annuels effectués pendant vingt ans. La solution est obtenue grâce à la relation suivante : 

On trouve F = 2 736,44 €. Il faudrait un versement annuel de 2 736,44 € pendant vingt ans pour assurer une rente annuelle de 6 420 € pendant les vingt-cinq années suivantes, si le taux d'intérêt sur toute la période est de 5 %.